对于非线性“Decision Boundary”

如果用传统的多项式回归，有

\[{h_\theta }\left( x \right) = {\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + {\theta _2}{x_2} + {\theta _3}{x_1}{x_2} + {\theta _4}x_1^2 + {\theta _5}x_2^2 +  \cdot  \cdot  \cdot \]

并且，想要

\[{h_\theta }\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}

{\begin{array}{*{20}{c}}

1&{

{\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + \cdot \cdot \cdot \ge 0}

\end{array}}\\

{\begin{array}{*{20}{c}}

0&{

{\theta _0} + {\theta _1}{x_1} + \cdot \cdot \cdot < 0}

\end{array}}

\end{array}} \right.\]

这时，把h_θ(x)写成如下形式

\[\begin{array}{l}

{h_\theta }\left( x \right) = {\theta _0} + {\theta _1}{f_1} + {\theta _2}{f_2} + {\theta _3}{f_3} + {\theta _4}{f_4} + {\theta _5}{f_5} + \cdot \cdot \cdot \\

{f_1} = {x_1},{f_2} = {x_2},{f_3} = {x_1}{x_2},{f_4} = x_1^2,{f_5} = x_2^2,...

\end{array}\]

那么问题来了，有没有与这些f不同或比现在这些f更好的选择呢？（比“相乘”、“平方”等更好或不同）

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内核

这里为了方便理解，在给定x的情况下，只计算三个新的特征。

这三个特征是根据三个给定的“landmarks”：l⁽¹⁾，l⁽²⁾，l⁽³⁾计算出来的（“landmarks”如何确定稍后再说）。

这里假设x只有两个特征x₁和x₂（这里忽略x₀=1）

给出x后，分别计算x与l⁽¹⁾，l⁽²⁾，l⁽³⁾的“similarity”

\[\begin{array}{l}

{f_1} = similarity\left( {x,{l^{\left( 1 \right)}}} \right) = \exp \left( { - \frac{

{

{

{\left\| {x - {l^{\left( 1 \right)}}} \right\|}^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right)\\

{f_2} = similarity\left( {x,{l^{\left( 2 \right)}}} \right) = \exp \left( { - \frac{

{

{

{\left\| {x - {l^{\left( 2 \right)}}} \right\|}^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right)\\

{f_3} = similarity\left( {x,{l^{\left( 3 \right)}}} \right) = \exp \left( { - \frac{

{

{

{\left\| {x - {l^{\left( 3 \right)}}} \right\|}^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right)

\end{array}\]

这里的“similarity”函数就是“内核”，这种内核又称为“高斯内核”。

这个内核函数的作用是什么？

对于

\[{f_1} = similarity\left( {x,{l^{\left( 1 \right)}}} \right) = \exp \left( { - \frac{

{

{

{\left\| {x - {l^{\left( 1 \right)}}} \right\|}^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right) = \exp \left( { - \frac{

{\sum\limits_{j = 1}^n {

{

{\left( {

{x_j} - l_j^{\left( 1 \right)}} \right)}^2}} }}{

{2{\sigma ^2}}}} \right)\]

当x≈l⁽¹⁾时：

\[{f_1} \approx \exp \left( { - \frac{

{

{0^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right) \approx 1\]

当x距离l⁽¹⁾比较远时

 \[{f_1} \approx \exp \left( { - \frac{

{l\arg enumbe{r^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right) \approx 0\]

同理，可以得到x与经过“内核”函数后的结果。

用图比较直观的理解

假设

\[\begin{array}{l}

{l^{\left( 1 \right)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}

3\\

5

\end{array}} \right]\\

{f_1} = \exp \left( { - \frac{

{

{

{\left\| {x - {l^{\left( 1 \right)}}} \right\|}^2}}}{

{2{\sigma ^2}}}} \right)

\end{array}\]

当σ2=1时

内核函数的示意图如图中上半部分，可以看出当x距离l⁽¹⁾越近，f₁越接近于1，越远越接近于0.

而对于不同的σ来说，图形的形状不相同

当σ2=0.5时

当σ2=3时

它们的区别在于当x距离l距离变化时f的变化“快慢”不同。

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举具体例子

给出x；给出l⁽¹⁾，l⁽²⁾，l⁽³⁾

支持向量机会计算f₁，f₂，f₃

现假设经过训练后得到的参数值θ₀=-0.5，θ₁=1，θ₂=1，θ₃=0。

则当x距离l⁽¹⁾较近时（图中红点）f₁≈1，f₂≈0，f₃≈0，h_θ(x)≈0.5≥0，则预测结果为1

同理当为图中绿点时，预测结果为0；黄点时，预测结果为1.

最终支持向量机会得到如图黑色曲线那样的“Decision Boundary”。

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如何选定l？

支持向量机会选取所有的样本作为l，也就是如果有m个样本，既有m个l⁽¹⁾,...,l^(m)。

经过处理后，支持向量机现在的任务是

\[\underbrace {\min }_\theta \left\{ {C\left[ {\sum\limits_{i = 1}^m {

{y^{\left( i \right)}}{\mathop{\rm Cos}\nolimits} {t_1}\left( {

{\theta ^T}{f^{\left( i \right)}}} \right) + \left( {1 - {y^{\left( i \right)}}} \right){\mathop{\rm Cos}\nolimits} {t_0}\left( {

{\theta ^T}{f^{\left( i \right)}}} \right)} } \right] + \frac{1}{2}\sum\limits_{j = 1}^n {\theta _j^2} } \right\}\]

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SVM的参数选择

对于C（相当于1/λ）：

• 比较大的C，会出现“低偏差”，“高方差”。这会陷入“过拟合”情况；
• 比较小的C，会出现“高偏差”，“低方差”，这会陷入“欠拟合”情况。

对于σ²：

比较大的σ²，特征f会变化的比较“顺滑”，会出现“高偏差”，“低方差”，这会陷入“欠拟合”情况；

比较小的σ²，特征f会变化的比较“快速”，会出现“低偏差”，“高方差”。这会陷入“过拟合”情况。

 

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内核选择

除了高斯内核，还有：

• “线性内核”，也就是没有内核（θ^Tx）
• “多项式内核”
• String kernel
• chi-square kernel
• histogram
• intersection kernel
• .
• .

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多分类

• SVM包中会内置多分类功能
• 可以用“one-vs-all”方法（将别的所有类看成一类）。

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逻辑回归 VS. SVMs

• n = 特征的数量，m = 训练样本的数量。
• 当 n 比较大（相对于m）时，用逻辑回归或者SVM的“线性内核”版本；
• 当 n 比较小，m 不是非常大时，用SVM的“高斯内核”版本；
• 当 n 比较小，m 非常大时，创造/增加 n ，然后用用逻辑回归或者SVM的“线性内核”（或者“无内核”）版本；
• 神经网络（插一脚）对于上面这些情况都能很好的工作，但是可能会训练比较慢；
• SVM的“代价函数”是凸函数，所以不需要担心陷入局部最小的问题。